튜토리얼 개요

이 자습서는 다음과 같이 세 부분으로 나뉩니다.

1. 결합 확률, 주변 확률 및 조건부 확률
2. 두 개의 주사위를 굴릴 확률
3. 두 도시의 날씨 확률

결합 확률, 주변 확률 및 조건부 확률

확률 계산은 단일 확률 변수로 작업할 때 비교적 간단합니다.

많은 실제 상황에서 종종 하는 것처럼 두 개 이상의 확률 변수를 고려할 때 더 흥미로워집니다.

두 개 (또는 그 이상)의 확률 변수로 작업 할 때 계산할 수 있는 세 가지 주요 유형의 확률이 있습니다.

간단히 말해서 다음과 같습니다.

• 결합 확률. 동시 이벤트의 확률.
• 주변 확률. 다른 변수와 무관한 사건의 확률입니다.
• 조건부 확률. 다른 사건의 존재가 주어진 사건의 확률.

이러한 다양한 유형의 확률의 의미와 계산은 두 확률 변수가 독립적(단순)인지 종속적인지(더 복잡한)에 따라 달라집니다.

작업 예제를 통해 이러한 세 가지 유형의 확률을 계산하고 해석하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 섹션에서는 두 주사위를 독립적으로 굴리는 케이스를 살펴보고 다음 섹션에서는 지리적으로 가까운 두 도시의 기상 현상 발생을 살펴 보겠습니다.

두 개의 주사위를 굴릴 확률

결합 및 주변 확률을 탐색하기 위한 좋은 출발점은 계산이 매우 간단하므로 독립 확률 변수를 고려하는 것입니다.

공정한 주사위를 굴리면 1에서 6까지의 숫자가 나올 확률은 6분의 1(1/6) 또는 0.166(16.666%)입니다.

• P (주사위 1 = 1) = 1/6
• P (주사위 1 = 2) = 1/6
• P (주사위 1 = 3) = 1/6
• P (주사위 1 = 4) = 1/6
• P (주사위 1 = 5) = 1/6
• P (주사위 1 = 6) = 1/6

두 번째 주사위를 굴리면 해당 주사위의 각 값에 대해 동일한 확률을 얻습니다. 주사위의 각 이벤트는 동일한 확률을 가지며 주사위1과 주사위2의 굴림은 서로 영향을 미치지 않습니다.

• P(주사위1={1,2,3,4,5,6}) = 1.0
• P(주사위2={1,2,3,4,5,6}) = 1.0

먼저 다음과 같이 주사위1에 대해 짝수를 굴릴 확률을 2, 4 또는 6을 굴릴 확률의 합으로 계산할 수 있습니다.

• P(주사위1={2, 4, 6}) = P(주사위1=2) + P(주사위1=4) + P(주사위1=6)
• P(주사위1={2, 4, 6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6

이것은 직관적으로 예상할 수 있는 0.5 또는 50%입니다.

이제 두 주사위를 동시에 짝수로 굴리는 결합 확률을 고려할 수 있습니다. 독립 확률 변수에 대한 결합 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

• P (A 및 B) = P (A) * P (B)

이것은 주사위1에 대해 짝수를 굴릴 확률에 주사위2에 대해 짝수를 굴릴 확률을 곱한 값으로 계산됩니다. 첫 번째 사건의 확률은 두 번째 사건의 확률을 제한합니다.

• P(주사위1={2, 4, 6} and 주사위2={2, 4, 6}) = P(주사위1={2, 4, 6}) * P(주사위2={2, 4, 6})

각 주사위를 짝수로 굴릴 확률은 0.5이므로 두 개의 짝수를 굴릴 확률은 3/6 또는 0.5입니다. 이를 연결하면 0.5 * 0.5 (0.25) 또는 25 %가됩니다.

이것을 보는 또 다른 방법은 하나의 주사위를 굴리면 6개의 조합이 제공된다는 점을 고려하는 것입니다. 두 개의 주사위를 함께 굴리면 주사위1의 6가지 조합 또는 (6×6) 36개의 조합 각각에 대해 주사위2에 대해 6개의 조합이 제공됩니다. 주사위1의 6개 조합 중 총 3개는 짝수이고 6개의 조합 중 3개는 짝수입니다. 그러면 36개의 조합 중 (3×3) 9개가 각 주사위의 짝수 또는 (9/36 = 0.25) 25%가 됩니다.

팁: 이산 이벤트가 있는 독립 변수로 작업할 때 확률 계산이 의심스러우면 조합의 관점에서 생각하면 상황이 다시 이해될 것입니다.

도메인에 대한 지식을 기반으로 결합 확률 테이블을 구성할 수 있습니다. 전체 표는 위쪽(x축)에 주사위1이 있고 측면(y축)에 주사위2가 있는 아래에 나열되어 있습니다. 주어진 셀에 대한 각 사건의 결합 확률은 결합 확률 공식을 사용하여 계산됩니다(예: 0.166 * 0.166 또는 0.027 또는 약 2.777%).

이 표는 두 확률 변수 주사위1과 주사위2의 사건에 대한 결합 확률 분포를 캡처합니다. 꽤 지루하지만 독립 변수의 결합 및 주변 확률에 대한 이해를 높이는 데 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 2를 주사위1로 굴리고 2를 주사위2로 굴릴 합동 확률은 표에서 2.777%로 직접 읽을 수 있습니다. 주사위1로 2를 굴리고 주사위2로 홀수를 굴리는 것과 같은 보다 정교한 경우를 탐색할 수 있습니다.

이것은 주사위1로 2를 굴리기 위한 두 번째 열의 값과 주사위2로 홀수를 굴리기 위한 첫 번째, 세 번째 및 다섯 번째 행의 값을 합산하는 것으로 읽을 수 있습니다.

• P(주사위1=2, 주사위2={1,3,5}) = 0.027 + 0.027 + 0.027

이것은 약 0.083 또는 약 8.333 %로 나옵니다.

이 표를 사용하여 주변 확률을 계산할 수도 있습니다. 이것은 주사위1에 대한 전체 확률 열 또는 주사위2에 대한 확률 행의 합으로 계산됩니다.

예를 들어, 주사위2를 사용하여 6을 굴릴 주변 확률을 테이블의 마지막 행에 걸친 확률의 합으로 계산할 수 있습니다. 이것은 우리가 직관적으로 예상할 수 있는 약 0.166 또는 16.666%로 나옵니다.

중요한 것은 테이블의 모든 셀에 대한 확률을 합산하면 1.0과 같아야 한다는 것입니다. 또한 각 행의 확률을 합산하면 이러한 합계의 합은 1.0과 같아야 합니다. 각 열의 확률을 합산하면 이 합계의 합도 1.0과 같아야 합니다. 이것은 결합 확률 테이블에 대한 요구 사항입니다.

사건이 독립적이기 때문에 조건부 확률을 계산하는 데 특별한 것은 필요하지 않습니다.

• P (A 주어진 B) = P (A)

예를 들어, 주사위1로 2를 굴릴 확률은 주사위2로 굴린 것에 관계없이 동일합니다.

• P (주사위 1 = 2 주어진 주사위 2 = 6) = P (주사위 1 = 2)

이런 식으로 조건부 확률은 독립 확률 변수에 유용한 의미를 갖지 않습니다.

결합 확률표를 개발하는 것은 결합 및 주변 확률을 계산하고 탐색하는 방법을 더 잘 이해하는 데 유용한 도구입니다.

다음 섹션에서는 종속 확률 변수가 있는 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.​

두 도시의 날씨 확률

우리는 두 종속 확률 변수에 대한 사건의 결합 확률 테이블을 사용하여 결합 및 주변 확률에 대한 직관을 개발할 수 있습니다.

도시 1과도시 2의 두 도시가있는 상황을 고려하십시오. 도시는 일반적으로 같은 날씨의 영향을 받을 만큼 충분히 가깝지만 동일한 날씨를 얻지 못할 만큼 충분히 멀리 떨어져 있습니다.

주어진 날에 이러한 도시에 대한 개별 날씨 분류를 고려할 수 있습니다(예: 맑음, 흐림,비). 도시1에서 맑을 때 도시2에서는 일반적으로 맑지만 항상 그런 것은 아닙니다. 따라서 두 도시의 날씨 사이에는 의존성이 있습니다.

이제 다양한 유형의 확률을 살펴보겠습니다.

데이터 수집

첫째, 20 일 동안 각 도시에서 관찰 된 날씨를 기록 할 수 있습니다.

예를 들어, 1 일째에 각각의 날씨, 2 일 등의 날씨가 어땠습니까?

전체 결과 표는 간결성을 위해 생략되며 나중에 합계를 구성합니다.

그런 다음 관찰된 쌍을 이루는 이벤트의 총 수의 합계를 계산할 수 있습니다.

예를 들어, 도시1에서 맑고 도시2에서 맑은 총 횟수, 도시1에서 맑음, 도시2에서 흐린 총 횟수 등입니다.

다시 말하지만, 전체 테이블은 간결함을 위해 생략되며 나중에 합계를 구성합니다.

이 데이터는 두 도시의 기상 현상 확률을 조사하기위한 기초를 제공합니다.​

결합 확률

첫째, 우리는 각 도시의 기상 현상 확률에 관심이있을 수 있습니다.

쌍을 이루거나 공동 기상 이벤트의 확률을 포함하는 테이블을 만들 수 있습니다.

아래 표는 두 도시에 대한 각 개별 날씨의 확률을 요약한 것으로, city1은 위쪽(x축)에 걸쳐 정의되고 city2는 측면(y축)에 걸쳐 정의됩니다.

표의 셀은 각 도시에서 발생한 사건의 결합 확률을 설명하며, 표의 확률은 함께 두 도시에 대한 기상 사건의 결합 확률 분포를 요약합니다.

표의 모든 셀에 대한 결합 확률의 합은 1.0과 같아야 합니다.

두 도시의 날씨에 대한 결합 확률을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 두 도시에서 동시에 맑을 확률이 높을 것으로 예상합니다. 이것은 공식적으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

• P (도시 1 = 맑음 및 도시 2 = 맑음)

또는 더 간결하게 :

• P(맑음, 맑음)

우리는 이것을 테이블에서 6/20 또는 0.3 또는 30%로 직접 읽을 수 있습니다. 상대적으로 높은 확률입니다.

우리는 이것을 한 단계 더 나아가 첫 번째 도시에서는 비가 오지 않지만 두 번째 도시에서는 비가 올 확률을 고려할 수 있습니다. 우리는 이것을 다음과 같이 말할 수 있습니다 :

• P(도시1=맑음 또는 흐림 및 도시2=비)

다시 말하지만, 우리는 이것을 테이블에서 직접 계산할 수 있습니다. 첫째, P (맑음, 비)는 0/20이고 P (흐림, 비)는 1/20입니다. 그런 다음 이러한 확률을 더하여 1/20 또는 0.05 또는 5%를 제공할 수 있습니다. 일어날 수 있지만 그럴 가능성은 없습니다.

이 표는 또한 이벤트의 한계 분포에 대한 아이디어를 제공합니다. 예를 들어, 도시 2에서 일어나는 일에 관계없이 도시 1에서 맑은 날이 올 확률에 관심이있을 수 있습니다. 이것은 맑은 것에 대한 city1의 확률을 합산하여 표에서 읽을 수 있습니다 (예 : 확률의 첫 번째 열).

• P(도시1=맑음) = P(도시1=맑음, 도시2=맑음) + P(도시1=맑음, 도시2=흐림) + P(도시1=맑음, 도시2=비)

또는

• P(도시1=맑음) = 6/20 + 1/20 + 0/20
• P(도시1=맑음) = 7/20

따라서 city1에서 맑은 날의 주변 확률은 0.35 또는 35%입니다.

city2에 대해서도 동일한 작업을 수행할 수 있으며, 일부 또는 모든 확률에 대한 이벤트의 주변 확률을 연속으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, city2에서 비오는 날의 확률은 표의 맨 아래 행에 따른 확률의 합으로 계산됩니다.

• P(도시2=비) = 0/20 + 1/20 + 3/20
• P(도시2=비) = 4/20

따라서 city2에서 비오는 날의 주변 확률은 0.2 또는 20%입니다.

주변 확률은 종종 흥미롭고 유용하며, 이를 포함하도록 결합 확률 표를 업데이트하는 것이 좋습니다. 예를 들어:

조건부 확률

우리는 다른 도시에서 기상 현상이 발생했을 때 기상 현상의 확률에 관심이있을 수 있습니다.

이를 조건부 확률이라고하며 결합 및 주변 확률을 사용하여 계산할 수 있습니다.

• P (A 주어진 B) = P (A 및 B) / P (B)

예를 들어, 도시 2에서 맑은 경우 도시 1에서 맑을 확률에 관심이 있을 수 있습니다.

이것은 공식적으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

• P(도시1=맑음 주어진 도시2=맑음) = P(도시1=맑음, 도시2=맑음) / P(도시2=맑음)

이전 섹션의 표에서 공동 및 주변 확률을 채울 수 있습니다. 예를 들어:

• P(도시1=맑음 주어진 도시2=맑음) = 6/20 / 8/20
• P (도시 1 = 맑음 주어진 도시 2 = 맑음) = 0.3 / 0.4

이것은 0.75 또는 75%로 나오며 직관적입니다. 우리는 도시 2에서 맑은 경우 도시 1도 대부분의 시간 동안 맑을 것으로 예상합니다.

이것은 주어진 날에 두 도시에서 맑을 확률이 30%로 낮은 결합 확률과 다릅니다.

조합 수의 관점에서 고려하면 더 의미가 있습니다. 이 조건부 사례에 대한 추가 정보가 있으므로 20일 동안의 확률을 계산할 필요가 없습니다. 특히, 우리는 city2에서 맑은 날이라고 가정하고 있으며, 이는 일수를 20에서 8로 크게 줄입니다. 도시 2에서 맑은 날 중 총 6 일은 도시 1에서도 맑았으며 분수 6/8 또는 (0.75) 75 %가되었습니다.

이 모든 것은 결합 확률 표에서 읽을 수 있습니다.

종종 오해되는 조건부 확률의 중요한 측면은 되돌릴 수 없다는 것입니다.

• P (A 주어진 B) != P (B 주어진 A)

그것은 도시 1에서 맑은 확률입니다 도시 2에서 맑은 경우 도시 2에서 맑을 확률은 도시 1에서 맑은 경우 도시 2에서 맑을 확률과 같지 않습니다.

• P(도시1=맑음 주어진 도시2=맑음) != P(도시2=맑음 주어진 도시1=맑음)

이 경우 도시1이 맑은 경우 도시2에서 맑을 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

• P(도시2=맑음 주어진 도시1=맑음) = P(도시2=맑음, 도시1=맑음) / P(도시1=맑음)
• P(도시2=맑음 주어진 도시1=맑음) = 6/20 / 7/20
• P (도시 2 = 맑음 주어진 도시 1 = 맑음) = 0.3 / 0.35
• P (도시 2 = 맑음 주어진 도시 1 = 맑음) = 0.857

이 경우 약 85.714 %로 더 높습니다.

조건부 확률을 사용하여 결합 확률을 계산할 수도 있습니다.

• P (A 및 B) = P (A 주어진 B) * P (B)

예를 들어, 우리가 아는 모든 것이 city1이 주어진 city2에서 맑음의 조건부 확률과 city2의 주변 확률이라면 결합 확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P (도시 1 = 맑음 및 도시 2 = 맑음) = P (도시 2 = 맑음 주어진 도시 1 = 맑음) * P (도시 1 = 맑음)
• P (도시 1 = 맑음 및 도시 2 = 맑음) = 0.857 * 0.35
• P (도시 1 = 맑음 및 도시 2 = 맑음) = 0.3

이것은 우리가 예상한대로 0.3 또는 30 %를 제공합니다.

추가 정보

이 섹션에서는 더 자세히 알아보려는 경우 주제에 대한 더 많은 리소스를 제공합니다.

책

• 확률 : 열정적인 초보자, 2016.
• 패턴 인식 및 머신러닝, 2006.
• 머신러닝: 확률론적 관점, 2012.

기사

• 확률, 위키 백과.
• 확률 및 통계의 표기법, 위키피디아.
• 독립 (확률 이론), 위키 백과.
• 독립적이고 동일하게 분포 된 확률 변수, Wikipedia.
• 상호 독점, 위키백과.
• 한계 분포, 위키 백과.
• 결합 확률 분포, 위키 백과.
• 조건부 확률, 위키피디아.