튜토리얼 개요

이 자습서는 다음과 같이 두 부분으로 나뉩니다.

• 변화율
• 변화율 측정의 중요성

변화율

변화율은 한 변화하는 변수가 다른 변수에 대한 관계를 정의합니다.

x로 표시된 수평 방향과 같이 y로 표시된 수직 방향으로 두 배 더 많이 변위하는 움직이는 물체를 고려하십시오. 수학적 용어로 이것은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

δy = 2δx

그리스 문자 델타 δ는 종종 차이 또는 변화를 나타내는 데 사용됩니다. 따라서 위의 방정식은 움직이는 물체의 y 위치 변화에 대한 x 위치의 변화 사이의 관계를 정의합니다.

x 및 y 방향의 이러한 변화는 x–y 좌표계에서 직선으로 그래프로 표시할 수 있습니다.

선형 함수의 선 플롯

물체의 움직임에 대한 이 그래픽 표현에서 변화율은 선의 기울기 또는 기울기로 표시됩니다. 선은 오른쪽으로 달리는 각 단일 단위에 대해 2단위 상승하는 것을 볼 수 있으므로 변화율 또는 기울기는 2와 같습니다.

모든 것을 하나로 묶으면 다음과 같습니다.

변화율 = δy / δx = 상승 / 달리기 = 기울기

두 가지 특정 점을 고려해야한다면, P1 = (2, 4) 및 P2 = (8, 16), 이 직선에서 기울기가 다음과 같음을 확인할 수 있습니다.

기울기 = δ y / δx = (y2 – y1) / (x2 – 엑스1) = (16 – 4) / (8 – 2) = 2

이 특정 예의 경우 기울기로 표시되는 변화율은 선의 방향이 오른쪽으로 증가하기 때문에 양수입니다. 그러나 선의 방향이 감소하면 변화율도 음수일 수 있으며, 이는 x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 감소한다는 것을 의미합니다. 또한 x가 증가함에 따라 y의 값이 일정하게 유지되면 변화율이 0이라고 말할 수 있습니다. 그렇지 않으면 y가 증가함에 따라 x의 값이 일정하게 유지되면 수직선의 기울기가 정의되지 않은 것으로 간주되기 때문에 변경 범위가 무한하다고 간주합니다.

지금까지 우리는 변하지 않는 기울기를 가진 직선, 따라서 선형 함수를 갖는 가장 간단한 예를 고려했습니다. 그럼에도 불구하고 모든 함수가 이렇게 간단한 것은 아니며, 그렇다면 미적분학이 필요하지 않을 것입니다.

미적분학은 변화의 수학이므로 지금은 기울기가 변하는 곡선인 포물선으로 넘어가기에 좋은 시기입니다.

39페이지, 인형을 위한 미적분학 필수품, 2019.

간단한 비선형 함수 인 포물선을 고려해 봅시다.

y = (1 / 4) x2

직선을 특징짓는 일정한 기울기와 대조적으로, 우리는 이 포물선이 오른쪽으로 이동함에 따라 어떻게 가파르고 가파르게 되는지 알 수 있습니다.

인형을 위한 미적분학 필수품에서 가져온 포물선의 선
플롯

미적분학의 방법을 사용하면 곡선 모양을 서로 나란히 배열된 많은 극소 직선 조각으로 절단하여 분석할 수 있습니다. 포물선의 곡선 모양에서 특정 지점 P에서 그러한 조각 중 하나를 고려해야한다면 변화율을 직선의 기울기로 다시 계산하고 있음을 알 수 있습니다. 포물선의 변화율은 우리가 처음에 고려한 특정 점 P에 따라 달라진다는 것을 명심하는 것이 중요합니다.

예를 들어, 점 P = (2, 1)을 통과하는 직선을 고려해야한다면 포물선의 이 점에서의 변화율은 다음과 같습니다.

변화율 = δy / δx = 1 / 1 = 1

P = (6, 9)에서 동일한 포물선에서 다른 점을 고려해야 한다면 이 시점의 변화율은 다음과 같습니다.

변화율 = δy / δx = 3 / 1 = 3

특정 점 P로 곡선에 닿는 직선을 접선이라고 하는 반면, 함수의 변화율을 계산하는 과정을 도함수를 찾는 과정이라고도 합니다.

파생 상품은 단순히 한 사물이 다른 사물과 비교하여 얼마나 많이 변하는지를 측정하는 것입니다.

37페이지, 인형을 위한 미적분학 필수품, 2019.

이 예제에서는 간단한 포물선을 고려했지만 더 복잡한 비선형 함수를 분석하기 위해 미적분학을 유사하게 사용할 수 있습니다. 곡선의 서로 다른 접선 지점에서 순간 변화율을 계산하는 개념은 동일하게 유지됩니다.

우리는 경사하강법 알고리즘을 사용하여 신경망을 훈련시킬 때 그러한 예를 만납니다. 최적화 알고리즘인 경사하강법은 오차 함수를 전역 최소값으로 반복적으로 하강하며, 매번 신경망 가중치를 업데이트하여 더 나은 훈련 데이터를 모델링합니다. 오차 함수는 일반적으로 비선형이며 많은 로컬 최소값과 안장 지점을 포함할 수 있습니다. 내리막길을 찾기 위해 경사하강 알고리즘은 오차가 가장 낮고 변화율이 0인 지점에 도달할 때까지 오차 함수의 여러 지점에서 순간 기울기를 계산합니다. 

변화율 측정의 중요성

지금까지 x–y 좌표계의 단위당 변화율을 고려했습니다.

예를 들어, 신경망 훈련의 맥락에서 우리는 오차 기울기가 신경망의 특정 가중치에 대한 오류의 변화로 계산되는 것을 보았습니다. 

변화율의 측정이 중요한 개념 인 다양한 분야가 있습니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• 물리학에서 속도는 단위 시간당 위치의 변화로 계산됩니다.
• 신호 디지털화에서 샘플링 속도는 초당 신호 샘플 수로 계산됩니다.
• 컴퓨팅에서 비트 전송률은 컴퓨터가 단위 시간당 처리하는 비트 수입니다.
• 금융에서 환율은 다른 통화에 대한 한 통화의 가치를 나타냅니다.

두 경우 모두 모든 비율은 도함수이고 모든 도함수는 금리입니다.

38페이지, 인형을 위한 미적분학 필수품, 2019.

추가 정보

이 섹션에서는 더 자세히 알아보려는 경우 주제에 대한 더 많은 리소스를 제공합니다.

책

• 무한한 힘, 2020.
• 인형을 위한 미적분학 필수품, 2019.
• 인형을위한 미적분학, 2016.
• 미적분학에 대한 히치하이커 가이드, 2019.
• 머신러닝을 위한 수학, 2020.

요약

이 자습서에서는 미적분학의 핵심 개념 중 하나인 변화율과 이를 측정하는 것의 중요성을 발견했습니다.

특히 다음 내용을 배웠습니다.

• 변화율의 측정은 미적분학의 필수 개념으로, 한 변화하는 변수가 다른 변수에 대한 관계를 찾을 수있게 해줍니다.
• 이것은 많은 분야에 적용될 수있는 중요한 개념이며 그 중 하나는 머신러닝입니다.