멱의 법칙, 곱의 법칙, 몫의 법칙
많은 머신러닝 알고리즘의 핵심 프로세스 중 하나인 최적화는 목적 함수를 최대화하거나 최소화하기 위해 모델의 매개변수 값을 업데이트하는 방식을 결정하기 위해 파생 함수를 사용합니다.
이 튜토리얼에서는 함수의 파생물을 찾을 수 있는 다양한 기술을 계속 탐색할 것입니다. 특히, 우리는 첫 번째 원칙에서 모든 미분을 찾아야 하는 것보다 더 빨리 함수의 도함수에 도달하는 데 사용할 수 있는 멱의 법칙, 곱의 법칙 및 몫의 법칙을 탐구할 것입니다. 따라서 특히 어려운 함수의 경우 파생을 찾기 위해 이러한 규칙을 유지하는 것이 점점 더 중요해질 것입니다.
이 튜토리얼에서는 함수의 도함수를 찾기 위해 거듭제곱, 곱 및 몫의 법칙을 발견합니다.
이 자습서를 완료하면 다음을 알 수 있습니다.
- 가변 밑의 도함수를 찾을 때 따라야 할 거듭제곱 규칙으로, 고정 멱으로 상승합니다.
- 곱의 법칙을 통해 다른 두 개 (또는 그 이상) 함수의 곱으로 정의 된 함수의 도함수를 찾는 방법.
- 몫의 법칙을 통해 두 개의 미분 가능한 함수의 비율인 함수의 도함수를 찾는 방법.
튜토리얼 개요
이 자습서는 다음과 같이 세 부분으로 나뉩니다.
- 멱의 법칙
- 곱의 법칙
- 몫의 법칙
멱의 법칙
가변 밑을 고정 거듭제곱으로 올린 경우 도함수를 찾기 위해 따라야 할 규칙은 가변 밑수 앞에서 멱을 내린 다음 가변을 1씩 빼는 것입니다.
예를 들어, 함수가 있는 경우 f(x) = x2, 그 중 미분을 찾고 싶다면 먼저 x 앞에 2를 내린 다음 멱을 1 줄입니다.
f (x) = x2
f‘(x) = 2x
이 규칙의 출처를 더 잘 이해하기 위해 더 긴 경로를 취하고 도함수의 정의에서 시작하여 f(x)의 도함수를 찾아 보겠습니다.
여기서는 f (x) = x를 대체합니다. 2 그런 다음 표현식을 단순화하십시오.
h가 값 0에 가까워지면 이 한계는 2x에 가까워지며, 이는 이전에 거듭제곱 규칙을 사용하여 얻은 결과와 합산됩니다.
f(x) = x에 적용하면 거듭제곱 규칙은 값 1을 제공합니다. x 앞에 1의 값을 가져온 다음 거듭제곱을 1로 빼면 지수에서 0의 값이 남게 되기 때문입니다. 이후, x0 = 1, 그런 다음 f‘(x) = (1) (x0)= 1.
이 도함수를 이해하는 가장 좋은 방법은 f(x) = x가 f(x) = 1x + 0(또는 y = 1x + 0)과 같기 때문에 f(x) = x가 y = mx + b 형식에 맞는 선이라는 것을 깨닫는 것입니다. 이 선의 기울기(m)는 1이므로 도함수는 1과 같습니다. 또는 x의 도함수가 1이라는 것을 기억할 수 있습니다. 그러나이 두 가지 아이디어를 모두 잊어 버린 경우 항상 전원 규칙을 사용할 수 있습니다.
페이지 131, 인형을 위한 미적분학, 2016.
거듭제곱 규칙은 양수, 음수 또는 분수 등 모든 거듭제곱에 적용할 수 있습니다. 우리는 또한 먼저 지수 (또는 거듭 제곱)를 분수로 표현함으로써 급진적 인 함수에 적용 할 수 있습니다.
f (x) = √x = x1/2
f’(x) = (1 / 2) x-1/2
곱의 법칙
이제 f(x) 함수가 있다고 가정하고, 그 중 다른 두 함수 u(x) = 2 x의 곱인 도함수를 찾으려고 합니다.2 및 v (x) = x3:
f (x) = u (x) v (x) = (2 x2) (x3)
f(x)의 도함수를 찾는 방법을 조사하기 위해 먼저 u(x)와 v(x)의 곱의 도함수를 직접 찾는 것부터 시작하겠습니다.
(u(x) v(x))’ = ((2x2) (x3))’ = (2x5)’ = 10x4
이제 함수의 도함수를 먼저 별도로 계산한 다음 나중에 곱해야 하는 경우 어떻게 되는지 조사해 보겠습니다.
u’(x) v’(x) = (2 x2)’ (x3)’ = (4 x) (3x2) = 12x3
두 번째 결과는 첫 번째 결과와 집계되지 않으며 이는 곱의 법칙을 적용하지 않았기 때문입니다.
곱 규칙은 두 함수의 곱의 도함수가 다음과 같이 찾을 수 있음을 알려줍니다.
f’(x) = u'(x) v(x) + u(x) v’(x)
우리는 한계의 속성을 적용하여 도함수의 정의로 다시 시작하여 작업하는 경우 곱의 법칙에 도달 할 수 있습니다.
우리는 f (x) = u (x) v (x)라는 것을 알고 있으므로 f (x)와 f (x + h)를 대체 할 수 있습니다.
이 단계에서 우리의 목표는 분자를 개별적으로 평가할 수 있는 몇 가지 한계로 인수분해하는 것입니다. 이를 위해 u(x) v(x + h) – u(x) v(x + h) 항의 빼기를 분자에 도입합니다. 그것의 소개는 우리가 방금 얻은 f‘(x)의 정의를 바꾸지 않지만 분자를 인수분해하는 데 도움이 될 것입니다.
결과 표현식은 복잡해 보이지만 자세히 살펴보면 인수분해 할 수있는 일반적인 용어가 있음을 알 수 있습니다.
이 표현은 합계와 제품을 별도의 한계로 분리할 수 있는 한계 법칙을 적용하여 더욱 단순화할 수 있습니다.
이제 우리 문제에 대한 해결책이 더 명확해졌습니다. 단순화 된 표현식의 첫 번째와 마지막 항은 u (x)와 v (x)의 도함수의 정의에 해당하며, 각각 u (x) ‘와 v (x)’로 표시 할 수 있습니다. 두 번째 항은 h가 0에 가까워짐에 따라 연속적이고 미분 가능한 함수 v(x)에 접근하는 반면 세 번째 항은 u(x)입니다.
따라서 우리는 곱의 법칙에 다시 도달합니다.
f’(x) = u'(x) v(x) + u(x) v’(x)
이 새로운 도구를 사용하여 u (x) = 2x 일 때 f ‘(x)를 찾는 것을 다시 생각해 봅시다.2 및 v (x) = x3:
f’(x) = u'(x) v(x) + u(x) v’(x)
f’(x) = (4 x) (x3) + (2x2) (3x2) = 4x4 + 6배4 = 10x4
결과 도함수는 이제 이전에 얻은 곱 (u(x) v(x))’의 도함수와 정확하게 일치합니다.
이것은 우리가 처음에 직접 계산할 수 있었던 매우 간단한 예였습니다. 그러나 직접 곱할 수 없는 함수와 관련된 더 복잡한 문제가 있을 수 있으며 곱의 법칙을 쉽게 적용할 수 있습니다. 예를 들어:
f (x) = x2 죄 x
f’(x) = (x2)’ (죄 x) + (x2) (죄 x)’ = 2 x 죄 x + x 2 코스 엑스
곱의 법칙을 두 개 이상의 기능으로 확장 할 수도 있습니다. 예를 들어, f(x)가 이제 u(x), v(x) 및 w(x)의 세 함수의 곱으로 정의된다고 가정해 보겠습니다.
f(x) = u(x) v(x) w(x)
다음과 같이 곱의 법칙을 적용 할 수 있습니다.
f‘(x) = u'(x) v(x) w(x) + u(x) v'(x) w(x) + u(x) v(x) w‘(x)
몫의 법칙
마찬가지로, 몫의 법칙은 함수 f(x)의 도함수, 즉 u(x)와 v(x)의 미분 가능한 두 함수의 비율을 찾는 방법을 알려줍니다.
우리는 곱의 법칙에 대해 했던 것처럼 첫 번째 원칙, 즉 파생 곱의 정의로 시작하여 한계의 속성을 적용하는 것에서 몫의 법칙을 도출할 수 있습니다. 또는 바로 가기를 사용하여 곱의 법칙 자체를 사용하여 몫의 법칙을 파생시킬 수 있습니다. 이번에는 이 경로를 살펴보겠습니다.
u(x)에 곱의 법칙을 적용하여 다음을 얻을 수 있습니다.
u‘(x) = f'(x) v(x) + f(x) v‘(x)
f‘(x)를 다시 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
마지막 단계는 f(x)를 대체하여 몫의 법칙에 도달합니다.
우리는 사인 함수와 코사인 함수의 도함수를 찾는 방법을 보았습니다. 몫의 법칙을 사용하여 이제 탄젠트 함수의 도함수도 찾을 수 있습니다.
f (x) = tan x = sin x / cos x
몫의 법칙을 적용하고 결과 표현식을 단순화합니다.
삼각법의 피타고라스 정체성에서 cos2x + sin2x = 1이므로 :
따라서 몫의 법칙을 사용하면 탄젠트의 도함수가 제곱 시컨트(secant) 함수라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
요약
이 자습서에서는 거듭제곱, 곱 및 몫의 법칙을 적용하여 함수의 도함수를 찾는 방법을 알아보았습니다.
특히 다음 내용을 배웠습니다.
- 가변 밑의 도함수를 찾을 때 따라야 할 거듭제곱 규칙으로, 고정 멱으로 상승합니다.
- 곱의 법칙을 통해 다른 두 개 (또는 그 이상) 함수의 곱으로 정의 된 함수의 도함수를 찾는 방법.
- 몫의 법칙을 통해 두 개의 미분 가능한 함수의 비율인 함수의 도함수를 찾는 방법.
