튜토리얼 개요

이 자습서는 다음과 같이 두 부분으로 나뉩니다.

• 미적분학
• 미적분학의 응용

미적분학

미적분학은 돌 또는 조약돌을 뜻하는 라틴어입니다. 

이 단어의 사용은 덧셈과 곱셈과 같은 계산을 수행하기 위해 작은 돌을 사용하는 고대 관행에서 유래되었습니다. 이 단어의 사용은 시간이 지남에 따라 많은 계산 방법의 제목에서 사라졌지만 수학의 중요한 한 분야는 미적분학이라는 이름으로 다룹니다. 

미적분학은 다른 형태의 수학과 마찬가지로 언어 그 이상입니다. 그것은 또한 믿을 수 없을 정도로 강력한 추론 시스템입니다.

– 페이지 xii, 무한한 힘, 2019.

미적분학은 기하학에서 성숙했습니다. 

처음에 기하학은 직선, 평면 및 각도와 관련이 있었으며 다른 용도 중에서도 경사로와 피라미드 건설에 대한 실용적인 기원을 반영했습니다. 그럼에도 불구하고 기하학자들은 원, 구, 원통 및 원뿔 연구를 위해 도구가 없다는 것을 알게 되었습니다. 이러한 곡선 모양의 표면적과 부피는 직선과 평평한 평면으로 만들어진 직선 모양보다 분석하기가 훨씬 더 어렵다는 것이 밝혀졌습니다. 복잡하다는 평판에도 불구하고 미적분학의 방법은 복잡한 문제를 더 간단한 부분으로 분해하여 단순성을 추구하는 것에서 성장했습니다. 

기원전 250년경 고대 그리스에서 곡선의 신비에 전념하는 뜨거운 작은 수학 스타트업이었습니다.

– 페이지 3, 무한한 힘, 2019.

이를 위해 미적분학은 곡선과 직선 사이의 다리로 무한대를 통제된 사용을 중심으로 진행되었습니다.  

무한대 원리

연속적인 모양, 물체, 움직임, 과정 또는 현상을 밝히기 위해 아무리 거칠고 복잡해 보일지라도 무한한 일련의 단순한 부분으로 다시 상상하고 분석한 다음 결과를 다시 추가하여 원래 전체를 이해하십시오.

– 페이지 xvi, 무한한 힘, 2019.

이 개념을 좀 더 잘 이해하려면 우주선을 타고 달로 여행하는 자신을 상상해보십시오. 지구에서 달을 바라보면 윤곽이 의심할 여지 없이 곡선으로 보입니다. 그러나 윤곽선의 더 가까이 접근하고 더 작은 부분이 보기 포트를 채우기 시작하면 곡률이 완화되고 덜 정의됩니다. 결국, 곡률의 양이 너무 작아서 윤곽선의 극히 작은 부분이 직선으로 나타납니다. 윤곽선의 극히 작은 부분을 따라 달의 원형 모양을 슬라이스 한 다음 무한히 작은 조각을 직사각형으로 배열해야한다면 너비를 높이에 곱하여 면적을 계산할 수 있습니다. 

이것이 미적분학의 본질입니다 : 현미경을 통해 곡선 모양을 보면 확대되는 곡률 부분이 직선적이고 평평하게 보일 것이라는 돌파구. 따라서 곡선 모양을 분석하는 것은 원칙적으로 많은 직선 조각을 조합하여 가능합니다. 

따라서 미적분학은 절단과 재건의 두 단계로 구성된 것으로 간주 될 수 있습니다.

수학적 용어로 절단 공정에는 항상 부품 간의 차이를 정량화하는 데 사용되는 무한히 미세한 빼기가 포함됩니다. 따라서 주제의 이 절반을 미분 미적분학이라고합니다. 재조립 프로세스에는 항상 부품을 원래 전체로 다시 통합하는 무한 추가가 포함됩니다. 주제의 이 절반을 적분 미적분학이라고 합니다.

– 페이지 xv, 무한한 힘, 2019.

이 점을 염두에 두고, 우리의 간단한 예를 다시 살펴보도록 합시다. 

달의 원형 모양을 더 작은 조각으로 자르고 조각을 서로 나란히 재배열했다고 가정합니다. 

우리가 만든 모양은 너비가 원 둘레의 절반인 C/2이고 높이가 원 반지름 r과 같은 직사각형과 유사합니다.  

원의 조각을 사각형
으로 재정렬합니다.

곡률을 더 평평하게하기 위해 원을 더 얇은 조각으로 슬라이스 할 수 있습니다.   

원의 더 얇은 조각을 직사각형
으로 재정렬합니다.

슬라이스가 얇을수록 곡률이 더 평평 해져서 무한히 많은 슬라이스의 한계에 도달 할 때까지 모양이 완벽하게 직사각형이됩니다.  

무한히 얇은 원 조각을 직사각형
으로 재정렬합니다.

원형 모양에서 슬라이스를 잘라 냈으며 직사각형으로 재정렬해도 면적이 변경되지 않습니다. 따라서 원의 면적을 계산하는 것은 결과 사각형의 면적을 계산하는 것과 같습니다 : A = rC / 2.

곡선은 기하학적 모양의 특성 일뿐만 아니라 발사체에 의해 추적되는 포물선 호 또는 태양 주위의 행성의 타원형 궤도 형태로 자연에 나타납니다. 

그래서 두 번째 큰 집착이 시작되었습니다 : 지구와 태양계에서 운동의 신비에 대한 매혹.

– 페이지 xix, 무한한 힘, 2019.

그리고 곡선과 운동의 경우 다음 자연스러운 질문은 변화율에 관한 것입니다.

곡선과 운동의 신비가 이제 해결되면서 미적분학은 세 번째 평생 집착인 변화의 신비로 넘어갔습니다.

– 페이지 xxii, 무한한 힘, 2019.

무한 원리의 적용을 통해 미적분학은 우리가 운동을 연구하고 변화를 많은 극소 단계로 근사화함으로써 변화시킬 수있게합니다. 

이러한 이유로 미적분학은 우주의 언어로 간주되었습니다. 

미적분학의 응용

미적분학은 수학 물리학 문제를 해결하는 뉴턴의 응용에서부터 수학자 캐서린 존슨 (Katherine Johnson)과 그녀의 동료들이 NASA에서 수행 한 작업에 뉴턴의 아이디어를 최근에 적용한 것에 이르기까지 많은 영역에 적용되었습니다. 

1860년대에 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 미적분학을 사용하여 전기와 자기의 실험 법칙을 재구성하여 결국 전자기파의 존재뿐만 아니라 전자기파로서의 빛의 본질을 밝혀냈습니다. 그의 작업을 바탕으로 Nikola Tesla는 최초의 무선 통신 시스템을 만들었고 Guglielmo Marconi는 최초의 무선 메시지를 전송했으며 결국 텔레비전 및 스마트 폰과 같은 많은 현대 장치가 존재하게되었습니다.  

1917 년 알버트 아인슈타인 (Albert Einstein)은 자극 방출의 효과를 예측하기 위해 미적분학을 원자 전이 모델에 적용했습니다. 그의 연구는 나중에 1960 년대에 최초의 작동 레이저로 이어졌으며, 그 이후로 컴팩트 디스크 플레이어 및 바코드 스캐너와 같은 다양한 장치에 사용되었습니다.

미적분학이 없었다면 휴대폰, 컴퓨터, 전자레인지도 없었을 것입니다. 우리는 라디오, 텔레비전, 임산부를 위한 초음파 검사 또는 길을 잃은 여행자를 위한 GPS도 없을 것입니다. 우리는 원자를 쪼개거나, 인간 게놈을 풀거나, 우주 비행사를 달에 보내지도 못했을 것입니다. 우리는 독립 선언문을 가지고 있지 않을 수도 있습니다.

– 페이지 vii, 무한한 힘, 2019.

더 흥미로운 것은 머신러닝에서 미적분학의 필수적인 역할입니다. 이는 함수의 기울기 계산이 필요하고 종종 머신러닝 모델을 훈련하는 데 필수적인 기울기 하강법과 같은 중요한 알고리즘의 기초가 됩니다. 이것은 미적분을 머신러닝의 기본 수학적 도구 중 하나로 만듭니다. 

추가 정보

이 섹션에서는 더 자세히 알아보려는 경우 주제에 대한 더 많은 리소스를 제공합니다.

책

• 무한한 힘, 2020.
• 인형을 위한 미적분학 필수품, 2019.
• 인형을위한 미적분학, 2016.
• 미적분학에 대한 히치하이커 가이드, 2019.
• 머신러닝을 위한 수학, 2020.

기사

• 미적분학, 위키피디아.

요약

이 튜토리얼에서는 미적분학의 기원과 그 응용을 발견했습니다. 

특히 다음 내용을 배웠습니다.

• 그 미적분학은 절단 및 재건 전략을 기반으로 하는 변화에 대한 수학적 연구입니다.
• 그 미적분학은 우리가 알고 있는 많은 현대 장치의 발견과 생성을 허용했으며 머신러닝의 기본 수학적 도구이기도 합니다.